Caso Especial: Mesmo Dígito das Dezenas, Unidades Somam 10

O Belo Caso Especial

Quando dois números de 2 dígitos têm:

• Mesmo dígito das dezenas
• Dígitos das unidades que somam 10

Há um método instantâneo!

Exemplos Deste Padrão

• 23 × 27 (ambos têm dezenas=2, e 3+7=10)
• 41 × 49 (ambos têm dezenas=4, e 1+9=10)
• 65 × 65 (ambos têm dezenas=6, e 5+5=10)
• 82 × 88 (ambos têm dezenas=8, e 2+8=10)

A Fórmula

Para números como n3 × n7 onde n é o dígito das dezenas:

1. Parte esquerda: n × (n+1)
2. Parte direita: 3 × 7 = 21
3. Resposta: Concatene-os

Exemplo: 23 × 27

• Esquerda: 2 × (2+1) = 2 × 3 = 6
• Direita: 3 × 7 = 21
• Resposta: 621

Exemplo: 41 × 49

• Esquerda: 4 × (4+1) = 4 × 5 = 20
• Direita: 1 × 9 = 09 (preencha com 2 dígitos)
• Resposta: 2009

Por Que Funciona

Para (10n + a) × (10n + b) onde a + b = 10:

= 100n² + 10n(a+b) + ab
= 100n² + 10n(10) + ab
= 100n² + 100n + ab
= 100n(n+1) + ab

Então: n(n+1) | ab

Nota Especial: Isso Inclui Elevar ao Quadrado

Números terminados em 5 são um caso especial:

• 25 × 25: dezenas=2, unidades 5+5=10 ✓
• 65 × 65: dezenas=6, unidades 5+5=10 ✓

É por isso que elevar ao quadrado números terminados em 5 funciona:

• n5² = n(n+1)|25

Padrão em Ação

11 × 19 = 1×2 | 1×9 = 2|09 = 209
22 × 28 = 2×3 | 2×8 = 6|16 = 616
33 × 37 = 3×4 | 3×7 = 12|21 = 1221
44 × 46 = 4×5 | 4×6 = 20|24 = 2024
55 × 55 = 5×6 | 5×5 = 30|25 = 3025

Note a progressão elegante!