Особый случай: одинаковая цифра десятков, единицы в сумме дают 10

Красивый особый случай

Когда два двузначных числа имеют:

• Одинаковую цифру десятков
• Цифры единиц, которые в сумме дают 10

Существует мгновенный метод!

Примеры этого шаблона

• 23 × 27 (оба имеют десятки=2, и 3+7=10)
• 41 × 49 (оба имеют десятки=4, и 1+9=10)
• 65 × 65 (оба имеют десятки=6, и 5+5=10)
• 82 × 88 (оба имеют десятки=8, и 2+8=10)

Формула

Для чисел вида n3 × n7, где n — цифра десятков:

1. Левая часть: n × (n+1)
2. Правая часть: 3 × 7 = 21
3. Ответ: Соедините их

Пример: 23 × 27

• Левая: 2 × (2+1) = 2 × 3 = 6
• Правая: 3 × 7 = 21
• Ответ: 621

Пример: 41 × 49

• Левая: 4 × (4+1) = 4 × 5 = 20
• Правая: 1 × 9 = 09 (дополните до 2 цифр)
• Ответ: 2009

Почему это работает

Для (10n + a) × (10n + b), где a + b = 10:

= 100n² + 10n(a+b) + ab
= 100n² + 10n(10) + ab
= 100n² + 100n + ab
= 100n(n+1) + ab

Так: n(n+1) | ab

Особое примечание: это включает возведение в квадрат

Числа, оканчивающиеся на 5, — особый случай:

• 25 × 25: десятки=2, единицы 5+5=10 ✓
• 65 × 65: десятки=6, единицы 5+5=10 ✓

Вот почему работает возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5:

• n5² = n(n+1)|25

Шаблон в действии

11 × 19 = 1×2 | 1×9 = 2|09 = 209
22 × 28 = 2×3 | 2×8 = 6|16 = 616
33 × 37 = 3×4 | 3×7 = 12|21 = 1221
44 × 46 = 4×5 | 4×6 = 20|24 = 2024
55 × 55 = 5×6 | 5×5 = 30|25 = 3025

Заметьте элегантную прогрессию!